Question

【题目】定义在R上的函数 y=f（x） 对任意的x，y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，且当x＞0时，f（x）＞2
（1）求f（0）的值；
（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；
（3）解不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：函数 y=f（x）定义在R上 对任意的x，y∈R满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，

∴令x=y0，

由f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，

可得：f（0）=f（0）+f（0）﹣2，

解得：f（0）=2．

故f（0）的值为：2

（2）证明：设x1＜x2，x1、x2∈R，

则x2﹣x1＞0，

由（1）可得f（x2﹣x1）＞2．

因为对任意实数任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，

所以f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2＞f（x1）

所以函数f（x）是R上的单调增函数

（3）解：由（1）（2）可知函数f（x）是R上的单调增函数．且f（0）=2；

不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0，变形得f（2t2﹣t﹣3）＜2，转化为f（2t2﹣t﹣3）＜f（0）．

故得：2t2﹣t﹣3＜0

解得： ，

所以原不等式的解集是（﹣1， ）

【解析】（1）由题意 y=f（x） 对任意的x，y∈R，关系式成立，采用赋值法，可得f（0）的值；（2）利用定义证明其单调性．（3）利用单调性及f（0）的值，求解不等式即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．