Question

设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且B=

π

3

．
（1）若△ABC的面积为

3 3

4

，b=

3

，求a，c的值；
（2）若△ABC不是钝角三角形，求

2a

c

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由题意可得可得

1

2

ac•sinB=

3 3

4

，且b²=3=a²+c²-2ac•cosB，化简可得ac=3，且a²+c²-ac=3，由此求得a、c的值．
（2）若△ABC不是钝角三角形，则C∈（

π

6

，

π

2

），利用正弦定理可得

2a

c

=

2sin( 2π 3 -C)

sinC

=

3

•

1

tanC

+1，由此求得

2a

c

的取值范围．

解答： 解：（1）△ABC中，由△ABC的面积为

3 3

4

，b=

3

，B=

π

3

，
可得

1

2

ac•sinB=

3 3

4

，且b²=3=a²+c²-2ac•cosB，
化简可得ac=3，且a²+c²-ac=3，求得a=c=

3

．
（2）若△ABC不是钝角三角形，则C∈（

π

6

，

π

2

），
∴tanC∈（

3

3

，+∞），

1

tanC

∈（0，

3

）．
∵B=

π

3

，故由正弦定理可得

2a

c

=

2sinA

sinC

=

2sin( 2π 3 -C)

sinC

=

3 cosC+sinC

sinC

=

3

•

1

tanC

+1∈（1，4），
即

2a

c

的取值范围为（1，4）．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正切函数的定义域和值域，属于基础题．