Question

10．已知函数 f（x）=x²+4|x-a|（x∈R）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$，求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k成立，求实数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$时，去绝对值号得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-2}&{x≥\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-4x+2}&{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，在每一段上根据二次函数的单调性即可写出函数f（x）的单调区间；
（2）要使本条件成立，只要f（x）_max-f（x）_min≤k，从而这里要求f（x）的最大、最小值，可设函数f（x）在[-1，1]上的最大值为M（a），最小值为m（a）．讨论a≥1，a≤1，或-1＜a＜1三种情况，每种情况下根据二次函数的单调性即可求出M（a），m（a），从而得出M（a）-m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8}&{a≥1，或a≤-1}\\{-{a}^{2}+4a+5}&{0＜a＜1}\\{-{a}^{2}-4a+5}&{-1＜a≤0}\end{array}\right.$，这样可求出M（a）-m（a）的最大值，从而得出k的最小值．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-2}&{x≥\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-4x+2}&{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
二次函数x²+4x-2在$[\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增，x²-4x+2在$（-∞，\frac{1}{2}）$上单调递减；
∴函数的单调增区间为[$\frac{1}{2}$，+∞），单调减区间为（-∞，$\frac{1}{2}$）；
（2）∵对任意的x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k；
∴设函数f（x）在[-1，1]上的最大值为M（a），最小值为m（a）；
①当a≥1时，f（x）=x²-4x+4a在[-1，1]上单调递减；
∴M（a）=f（-1）=5+4a，m（a）=f（1）=-3+4a；
②当a≤-1时，f（x）=x²+4x-4a在[-1，1]上单调递增；
∴M（a）=f（1）=5-4a，m（a）=f（-1）=-3-4a；
③当-1＜a＜1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-4a}&{x≥a}\\{{x}^{2}-4x+4a}&{x＜a}\end{array}\right.$在（-1，a）上单调递减，在[a，1）上单调递增；
∴m（a）=f（a）=a²，M（a）=max{f（1），f（-1）}={5-4a，5+4a}；
即0＜a＜1时，M（a）=5+4a，-1＜a≤0时，M（a）=5-4a；
综上得M（a）-m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8}&{a≥1，或a≤-1}\\{-{a}^{2}+4a+5}&{0＜a＜1}\\{-{a}^{2}-4a+5}&{-1＜a≤0}\end{array}\right.$；
0＜a＜1时，-a²+4a+5=-（a-2）²+9∈[5，8]；
-1＜a≤0时，-a²-4a+5=-（a+2）²+9∈[5，8]；
又对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立；
∴k≥M（a）-m（a）恒成立，M（a）-m（a）最大值为8；
∴k≥8；
∴k的最小值为8．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数单调性的判断方法，二次函数的单调性，以及根据二次函数的单调性求二次函数的最值．