Question

28、已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=1，a₂=a（a为实数），且b_n=a_n．a_n+1，其中n=1，2，3，…
（1）求证：“若数列{a_n}是等比数列，则数列{b_n}也是等比数列”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}是等比数列，写出数列的通项，由b_n=a_n．a_n+1，表示出数列{b_n}的后一项与前一项之比，约分之后，得到比值是一个定值，结论得证．
（2）把（1）中命题的逆命题写出来，用类似于（1）的方法检验是否正确，结果发现奇数项是以1为首项，q为公比的等比数列，偶数项是以a为首项，q为公比的等比数列，所以逆命题不正确．

解答：解：（I）因a_n是等比数列，
a₁=1，a₂=a
∴a_n=a^n-1
∵b_n=a_n．a_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=a2
∴b_n是以a为首项，a²为公比的等比数列．
（II）（I）中命题的逆命题是：若b_n是等比数列，则a_n也是等比数列，是假命题．
设b_n的公比为q则

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，(q≠0)
又a₁=1，a₂=a
∴a₁，a_3，…a_2n-1是以1为首项，q为公比的等比数列，
a₂，a₄…a_2n…是以a为首项，q为公比的等比数列，
即a_n为1，a，q，aq，q²，aq²，
但当q≠a²时，a_n不是等比数列，故逆命题是假命题．

点评：培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．