Question

5．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥平面SCD，AD=DC=BC=1，SD=2，∠SDC=120°．
（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值．
（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出SC与平面SAB所成角的正弦值．
（2）求出平面SAD的法向量和平面SAB的法向量，由此能求出平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

解答 解（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=DC=t，则S（0，-1，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
$\overrightarrow{SC}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SA}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
设平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
设SC与平面SAB所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴SC与平面SAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
（2）S（0，-1，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{DS}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SA}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），
设平面SAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DS}=-b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SA}=a+b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面SAD与平面SAB所成的锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$．
∴平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面角的正弦值及二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．