Question

如图，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点.

（1）求证：平面O₁AC平面O₁BD
（2）求二面角O₁－BC－D的大小；
（3）求点E到平面O₁BC的距离.

Answer 1

(1)只需证BD⊥面O₁AC即可；(2)  ；(3) 。

试题分析：（1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴AA₁⊥面AC，又BD?面AC，所以AA₁⊥BD．      又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AA₁∩AC=A
所以BD⊥面AA₁C。                                          
即BD⊥面O₁AC，又BD?面O₁BD，
所以平面O₁AC⊥平面O₁BD． 
（2）解：过O作OH⊥BC于H，连接O₁H，则∠O₁HO为二面角O₁-BC-D的平面角．    
在Rt△BHO中，OB=2，∠OBH=60°，∴OH=
又O₁O∥A₁A，∴O₁O⊥OH．∴tan∠O₁OH= .故二面角O₁-BC-D的大小为.
（3）因为E为AO₁的中点，所以OE//O₁C，所以E到面O₁BC的距离等于O到面O₁BC的距离，根据等积法即可求出点E到平面O₁BC的距离为。
点评：本题以直四棱柱为载体，考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是利用面面垂直的判定，正确作出面面角．