Question

（2011•万州区一模）已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点A的直线l交曲线C于E、F两点，若△BEF的面积等于

4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，所以|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，由此能求出动点P的轨迹C的方程．
（2）设直线l的方程为x=ty-1，由

x=ty-1 x2 2 +y2=1

，得到（t²+2）y²-2ty-1=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则y1+y2=

2t

t2+2

，y1•y2=

-1

t2+2

，S△BEF=

1

2

|AB|•|y1-y2|=

4

3

．由此能求出直线l的方程．

解答：解：（1）在△PAB中，
由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA||PB|（1+cos2θ）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4．
∴|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，
即动点P的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆．
∴动点P的轨迹C的方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l的方程为x=ty-1，
由

x=ty-1 x2 2 +y2=1

，
得到（t²+2）y²-2ty-1=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则y1+y2=

2t

t2+2

，y1•y2=

-1

t2+2

，
∴S△BEF=

1

2

|AB|•|y1-y2|
=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2t t2+2 )2+ 4 t2+2

=

8t2+8

t2+2

=

4

3

．
解得t²=1，
∴t=±1，
当t=±1，方程（t²+2）y²-2ty-1=0的△=4+4×3=16＞0适合，
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．