Question

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即n=1；9点20分作为第二个计数人数的时间，即n=2；依此类推…，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位．第n个时刻进入园区的人数f（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系：
，n∈N^*
第n个时刻离开园区的人数g（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系：
，n∈N^*．
（Ⅰ）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）
（Ⅱ）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？

Answer 1

【答案】分析：（I）欲计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人，先求出下午3点整进入的游客总人数和离开的游客总人数，最后求出它们的差即可；
（II）经分析知，只有当当37≤n≤72时，世博园区内游客总人数才可能最多，在此时间段内，令-3n+216=5n-120得到的n值即为所求．
解答：解：（Ⅰ）当0≤n≤24且n∈N^*时，f（n）=36，当25≤n≤36且n∈N^*时，
所以S₃₆=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（24）]+…+[f（25）+f（26）+…+f（36）]
=36×24+36×
=864+792=1656；（2分）
另一方面，已经离开的游客总人数是：T₁₂=g（25）+g（26）+…+g（36）=12×5=390；（4分）
所以S=S₃₆-T₁₂=1656-390=1266（百人）
故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人．（6分）

（Ⅱ）当f（n）-g（n）≥0时园内游客人数递增；当f（n）-g（n）＜0时园内游客人数递减．
（i）当1≤n≤24时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；（8分）
（ii）当25≤n≤36时，令5n-120≤36，得出n≤31，
即当25≤n≤31时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；（10分）
（iii）当32≤n≤36时，，进入园区人数多于离开人数，
总人数越来越多；（12分）
（Ⅳ）当37≤n≤72时，令-3n+216=5n-120时，n=42，
即在下午4点整时，园区人数达到最多．
此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整．（14分）．
答：（Ⅰ）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人；
（Ⅱ）在下午4点整时，园区人数达到最多．
点评：本题主要考查了函数的应用问题、指数函数及其不等式等知识，属于中档题．