Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，F₁，F₂分别为其左、右焦点，抛物线y²=-4x的焦点为F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过焦点F₁的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由抛物线y²=-4x的焦点为F₁（-1，0）可知c=1，
∵2a=4∴a=2，∴b²=a²-c²=3
所以椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1 …（4分）
（Ⅱ）因为过点F₁（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，
可设直线l方程为：x=my-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（4+3m²）y²-6my-9=0，∴

y1+y2= 6m 3m2+4 y1y2=- 9 3m2+4

所以S △F1PQ=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

，
令

m2+1

=t，则t≥1，所以S △F1PQ=

12

3t+ 1 t

而3t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，
所以S △F1PQ=

12

3t+ 1 t

≤3，当t=1时取等号，
即当m=0时，△F₂PQ的面积最大值为3…（8分）