Question

在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c．已知向量

m

=（2cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，-2sin

A

2

），

m

•

n

=-1．
（1）求cosA的值；
（2）若a=2

3

，求△ABC周长的范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标及两向量的数量积为-1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可求出cosA的值；
（2）由a的值表示出三角形ABC周长L，且利用三角形三边关系得到b+c＞a，由余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入并利用基本不等式求出b+c的范围，综上，确定出b+c的范围，进而确定出a+b+c的范围，即为三角形ABC周长的范围．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（2cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，-2sin

A

2

），且

m

•

n

=-1，
∴2cos²

A

2

-2sin²

A

2

=2cosA=-1，
则cosA=-

1

2

；
（2）∵a=2

3

，
∴△ABC周长L=a+b+c=2

3

+b+c，b+c＞a=2

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA=（b+c）²-bc，
即12=（b+c）²-bc，
∵b+c≥2

bc

，即bc≤

(b+c)2

4

，
∴12=（b+c）²-bc≥

3(b+c)2

4

，即（b+c）²≤16，
解得：0＜b+c≤4，
∴2

3

＜b+c≤4，即4

3

＜a+b+c≤4+2

3

，
则△ABC周长为（4

3

，4+2

3

]．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．