Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），F（x）=

f(x) ， x≥0 -f(x) ， x＜0

若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表达式；
（2）设函数g（x）=x+t，若函数F（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，可得f（x）=ax²+（a+1）x+1（a＞0），因为对任意实数x均有f（x）≥0成立，所以

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，据此求出a、b的值，进而求出求F（x）的表达式即可；
（2）根据函数F（x）与g（x）的图象有三个不同交点，分两种情况讨论求出实数t的取值范围即可．

解答： 解：由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，
所以f（x）=ax²+（a+1）x+1（a＞0），
因为对任意实数x均有f（x）≥0成立，
所以

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，
解得a=1，从而b=2，
所以f（x）=x²+2x+1（a＞0），
F（x）=

x2+2x+1，x≥0 -x2-2x-1，x＜0

；
（2）当x＞0时，由函数F（x）与g（x）的图象，可得t＞1，
当x＜0时，要使函数f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，
则方程-x²-2x-1=x+t，即x²+3x+t+1=0有两个不同负根，
∴

△=9-4(t+1)＞0 x1+x2=-3＜0 x1x2=t+1＞0

，
解得，-1＜t＜

5

4

，
综上所述，1≤t＜

5

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质的运用，考查了函数的极值与最值，考查了学生分析解决问题的能力，属于中等题．