Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是A₁B₁，AC₁的中点．
（1）求证：MN⊥平面ABC₁；
（2）求三棱锥M-ABC₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得四边形BCC₁B₁是正方形，MN⊥BC₁，MN⊥AC₁．由此能证明MN⊥平面ABC₁．
（2）MN是三棱锥M-ABC₁的高，由已知条件推导出MN=

2

．S△ABC1=2

2

．由此能求出三棱锥M-ABC₁的体积．

解答： （1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC₁B₁是正方形．
∴BC₁⊥B₁C．∴MN⊥BC₁．
连接AM，C₁M，△A₁MA≌△B₁MC₁．
∴AM=C₁M，又N是AC₁的中点，∴MN⊥AC₁．
∵BC₁与AC₁相交于点C₁，
∴MN⊥平面ABC₁．
（2）解：由（1）知MN是三棱锥M-ABC₁的高．
在直角△MNC中，MC₁=

5

，AC₁=2

3

，∴MN=

2

．
又S△ABC1=2

2

．
∴VM-ABC1=

1

3

•MN•S△ABC1=

4

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．