Question

已知幂函数f（x）=（m-1）²x m2-4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据幂函数的定义个性质即可求出．
（Ⅱ）根据幂函数和指数函数的单调性，分别求出其值域，再根据A∪B=A，得到关于k的不等式组，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得：（m-1）²=1，解得m=0或m=2
当m=2时，f（x）=x^-2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x²，
当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，
∴A=[1，4]，B=[2-k，4-k]，
∵A∪B=A，
∴B⊆A，
∴

2-k≥1 4-k≤4

⇒0≤k≤1．
故实数k的取值范围事[0，1]

点评：本题考查了幂函数和指数函数的定义和性质，以及有关函数的值域的问题，属于基础题．