Question

已知椭圆C₁：

y 2

a x

+

x 2

b 2

=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为

2

2

，其一个焦点在抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线上，过点M（0，1）的直线交C₁于C、D两点，交C₂于A、B两点，分别过点A、B作C₂的切线，两切线交于点Q．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求△QCD面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

2b=4 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出C₁的方程．由C₁的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线上，得p=4，由此能求出C₂的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀）．由C₂：y=

x2

8

，利用导数的几何意义知过A点C₂的切线方程为y=

xx1

4

-y1．过B点C₂的切线方程为y=

xx2

4

-y2．由此求出直线AB的方程为y=

1

4

x0x+1，
联立方程组

y2 8 + x2 4 =1 y= 1 4 x0x+1

，得(x02+32)x2+8x0x-7×16=0，由此利用椭圆弦长公式和点到直线距离公式能求出△QCD面积的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为

2

2

，
∴

2b=4 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a²=8，b=2，c=2，
∴C₁的方程为：

y2

8

+

x2

4

=1．（2分）
∵C₁的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线上，
∴p=4，∴C₂的方程：x²=8y．（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀）．
由（Ⅰ）知C₂：y=

x2

8

，∴y′=

x

4

，
∴过A点C₂的切线方程为y-y₁=

x1

4

(x-x1)，即y=

xx1

4

-y1．
过B点C₂的切线方程为y=

xx2

4

-y2．
又∵这两条直线均过点Q，
∴y0=

x0x1

4

-y1，y0=

x0x2

4

-y2，
∴点A，B均在直线y0=

x0x

4

-y上．
∴直线AB的方程为y=

x0y

4

-y0，
又∵直线AB过点M（0，1），∴y₀=-1．
∴直线AB的方程为y=

1

4

x0x+1，（6分）
联立方程组

y2 8 + x2 4 =1 y= 1 4 x0x+1

，得(x02+32)x2+8x0x-7×16=0，
x3+x4=

-8x0

x02+32

，x3x4=

-7×16

x02+32

．
|CD|=

1+ x02 16

|x₃-x₄|=

1+ x02 16

16 2 x02+28

x02+32

=

4 2 (x02+28)(x02+16)

x02+32

，（8分）
点Q到直线AB的距离为

|x02+8|

x02+16

．
∴△QCD面积：
S=

2 2 • (x02+28)(x02+16)

x02+32

•

|x02+8|

x02+16

=

2 2 (x02+8) x02+28

x02+32

．（10分）
设

x02+28

=t，∴t≥2

7

．
∴S（t）=

2 2 (t2-20)t

t2+4

=2

2

（t-

24

t+ 4 t

），
∴当t∈[2

7

，+∞）时，S（t）为单调递增函数．
∴S_min=

14

．（12分）

点评：本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．