Question

已知函数f（x）=

alnx

x

+bx图象在点P（1，f（x））处切线方程是y=-1，其中实数a，b是常数．
（1）求实数a，b的值；
（2）若x=1是函数g（x）=1-clnx-x²的唯一零点，求实数c的取值范围；
（3）若对任意的正实数x，以及任意大于m的实数t，都有

ln(x+t)

x+t

-x＜

lnt

t

恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f′(x)=

a(1-lnx)

x2

+b，得方程组

f(1)=-1 f′(1)=0

，解出即可；
（2）先求出g′(x)=-

c

x

-2x=-

2x2+c

x

，再讨论①若c≥0，②若c＜0时的情况，从而求出c的范围；
（3）由（Ⅰ）f(x)=

lnx

x

-x，取c=1，则g（x）=1-lnx-x²由（Ⅱ）可知，g（x）有唯一零点x=1，从而得f（x）的减区间为（1，+∞），得f（x+t）＜f（t）恒成立
?f（x）在（m，+∞）上是减函数，进而求出m的最小值．

解答： 解：（1）f′(x)=

a(1-lnx)

x2

+b，
∵函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程是y=-1，
∴

f(1)=-1 f′(1)=0

，即

b=-1 a+b=0

，
∴

a=1 b=-1

；
（2）g（x）定义域为（0，+∞），
g′(x)=-

c

x

-2x=-

2x2+c

x

，
①若c≥0，
则g′(x)=-

2x2+c

x

＜0(x＞0)，
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数
又g（1）=0，
∴x=1是函数g（x）的唯一零点，符合条件．
②若c＜0，则由g′(x)=-

2x2+c

x

=0(x＞0)，
得x=

- c 2

列表

x	（0， - c 2 ）	- c 2	（ - c 2 ，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↑		↓

（i）若

- c 2

＜1，即-2＜c＜0，
则g(

- c 2

)＞g(1)=0，又

lim

x→0+

g(x)=-∞
∴g（x）在（0，

- c 2

）内有1个零点，
从而g（x）有两个零点，不合条件．
（ii）若

- c 2

=1，即c=-2，
则g(x)≤g(

- c 2

)=g(1)=0（当且仅当x=1时取“=”），
∴x=1是函数g（x）的唯一零点，符合条件． 
（iii）若

- c 2

＞1，即c＜-2，
则g(

- c 2

)＞g(1)=0，又

lim

x→+∞

g(x)=-∞
∴g（x）在（

- c 2

，+∞）内有1个零点，从而g（x）有两个零点，不合条件．
综上，c的取值范围是c≥0或c=-2． 
（3）由（Ⅰ）f(x)=

lnx

x

-x，取c=1，则g（x）=1-lnx-x²
由（Ⅱ）可知，g（x）有唯一零点x=1，
且当x＞1时g（x）＜0，当0＜x＜1时g（x）＞0
∴由f′(x)=

1-lnx-x2

x2

=

g(x)

x2

＜0，得x＞1，
∴f（x）的减区间为（1，+∞），
∴对任意的正实数x，以及任意大于m的实数t，
都有

ln(x+t)

x+t

-x＜

lnt

t

，
即

ln(x+t)

x+t

-(x+t)＜

lnt

t

-t，
∴f（x+t）＜f（t）恒成立
?f（x）在（m，+∞）上是减函数
?（m，+∞）⊆（1，+∞）
?m≥1，
∴实数m的最小值是1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，参数的范围，考查切线方程，是一道综合题．