Question

已知函数f（x）=1+cos2x-2sin（x-

π

6

），x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后所得到的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据三角函数图象与性质求得函数周期和对称中心．
（Ⅱ）先求得g（x）的表达式，进而根据偶函数的性质求得m的表达式，进而求得m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

）=cos2x+cos2（x-

π

6

）=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x=

3

sin（2x+

π

3

）
由2x+

π

3

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
所以对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0），k∈Z，
T=

2π

2

=π，即函数的周期为π．
（Ⅱ）将f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）的图象向左平移m个单位后得到，g（x）=

3

sin[2（x+m）+

π

3

]=

3

sin（2x+2m+

π

3

），
所以2m+

π

3

=kπ+

π

2

，即m=

kπ

2

+

π

12

．因为m＞0，所以的最小值为

π

12

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质．综合性较强，对学生基础知识的要求较高．