Question

给出两个命题，
命题甲：关于x的不等式：x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅；
命题乙：正比例函数y=（2a²-a-1）x图象经过第一、三象限．
分别求出符合下列条件的a的取值范围：
（1）甲、乙 都是真命题；
（2）甲、乙 至少有一个是真命题．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用

分析：x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅?x²+（a-1）x+a²≥0恒成立⇒a≥

1

3

或a≤-1；
正比例函数y=（2a²-a-1）x图象经过第一、三象限⇒2a²-a-1＞0，解得：a＞1或a＜-

1

2

；
（1）甲、乙 都是真命题，解不等式组

a≥ 1 3 或a≤-1 a＞1或a＜- 1 2

即可求得a的取值范围；
（2）甲、乙至少有一个是真命题，

解答： 解：命题甲：关于x的不等式：x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅?x²+（a-1）x+a²≥0恒成立，则△=（a-1）²-4a²≤0，解得：a≥

1

3

或a≤-1；
命题乙：正比例函数y=（2a²-a-1）x图象经过第一、三象限，则2a²-a-1＞0，解得：a＞1或a＜-

1

2

；
（1）若甲、乙都是真命题，则

a≥ 1 3 或a≤-1 a＞1或a＜- 1 2

解得：a＞1或a≤-1；
（2）若甲、乙至少有一个是真命题，则

a≥ 1 3 或a≤-1 - 1 2 ≤x≤1

①或

-1＜a＜ 1 3 a＞1或a＜- 1 2

②，或

a≥ 1 3 或a≤-1 a＞1或a＜- 1 2

③；
解①得：

1

3

≤a≤1；解②得：-1＜a＜-

1

2

；解③得：a＞1或a≤-1；
综上所述，a的取值范围为：a≤-

1

2

或a≥

1

3

．

点评：本题考查不等式的解法及应用，着重考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．