Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3

2

，得到三棱锥B-ACD

（1）若CM=2MB，求证：直线OM与平面ABD不平行；
（2）求二面角A-BD-O的余弦值；
（3）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4

2

，并证明你的结论．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明M是棱BC的中点时，OM∥平面ABD，而而CM=2MB，∴直线OM与平面ABD不平行；
（2）向量法解决，求出两半平面的法向量，求其夹角；
（3）因为N是线段BD上一个动点，设N（x₁，y₁，z₁），

BN

=λ

BD

，

CN

=（3

3

，3λ，3-3λ），由CN=4

2

，得

27+9λ2+(3-3λ)2

=4

2

，即9λ²-9λ+2=0，解得λ=

1

3

或λ=

2

3

，

解答： （1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点，
若M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB，
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．
而CM=2MB，
∴直线OM与平面ABD不平行；
（2）解：由题意，OB=OD=3，
因为BD=3

2

，所以∠BOD=90°，OB⊥OD，
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
A（3

3

，0，0），D（0，3，0），B（0，0，3），
所以

AB

=（-3

3

，0，3），

AD

=（-3

3

，3，0），
设平面ABD的法向量为

n

=（x，y，z），
则有

AB • n =0 AD • n =0

即：

-3 3 x+3z=0 -3 3 x+3y=0

，
令x=1，则y=

3

，z=

3

，所以

n

=（1，

3

，

3

），
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为

n0

=（1，0，0），
cos＜

n0

，

n

＞=

n0• n

| n0 || n |

=

1

1× 7

=

7

7

，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为

7

7

．
（3）解：因为N是线段BD上一个动点，设N（x₁，y₁，z₁），

BN

=λ

BD

，
则（x₁，y₁，z₁-3）=λ（0，3，-3），
所以x₁=0，y₁=3λ，z₁=3-3λ，
则N（0，3λ，3-3λ），

CN

=（3

3

，3λ，3-3λ），
由CN=4

2

，得

27+9λ2+(3-3λ)2

=4

2

，即9λ²-9λ+2=0，
解得λ=

1

3

或λ=

2

3

，
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）．

点评：本题给出平面折叠问题，求证线面平行、二面角并求空间距离，着重考查了线面平行判定定理、二面角的平面角的求法和空间距离等知识，属于中档题．