Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁AC⊥平面ABC，BC⊥AC，D为AC的中点，AC=BC=AA₁=A₁C=2．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得BC⊥AC，BC⊥面A₁AC，从而BC⊥AC₁，又A₁C⊥AC₁，由此能证明AC₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）由AO⊥平面A₁BC，推导出∠AEO为平面AA₁B与平面A₁BC的夹角，由此能求出平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面A₁AC⊥平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥面A₁AC，∴BC⊥AC₁，
∵AA₁C₁C是菱形，
∴A₁C⊥AC₁，
∵A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC₁⊥平面A₁BC，A₁C∩AC₁=O，∴AO⊥平面A₁BC，
∴AO⊥A₁B，又OE⊥A₁B于E，∴A₁B⊥AE，
∴∠AEO为平面AA₁B与平面A₁BC的夹角，
在Rt△A₁EO中，A₁O=1，∠OA₁E=45°，
∴直角边OE=

2

2

，
又∵Rt△A₁EO中，AO=

3

，AE=

14

2

，
∴cos∠AEO=

OE

AE

=

7

7

．
∴平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值为

7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．