Question

设f（x）=|x-3|+|x-4|
（Ⅰ）求函数g（x）=

2-f(x)

的定义域；
（Ⅱ）若存在实数x满足f（x）≤ax-1，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数成立的条件，即可求函数g（x）=

2-f(x)

的定义域；
（Ⅱ）作出f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x-3|+|x-4|=

7-2x， x＜3 1， 3≤x≤4 2x-7， x＞4

，
要使函数g（x）有意义，则2-f（x）≥0，
即f（x）≤2，
作函数y=f（x）的图象，它与直线y=2交点的横坐标为

5

2

和

9

2

，
由图象知f（x）≤2的解为

5

2

≤x≤

9

2

，
即函数的定义域为[

5

2

，

9

2

]．
（Ⅱ）函数y=ax-1的图象是过点（0，-1）的直线．
当且仅当函数y=f（x）与直线y=ax-1有公共点时，存在题设的x．
由图象知，当x=4时，y=1，即B（4，1），当直线y=ax-1经过点B时，满足条件，
此时1=4a-1，解得a=

1

2

，
当a≥

1

2

时，满足条件．
当直线y=ax-1与y=7-2x平行时，不满足条件，此时a=-2，
即当a＜0时，要满足条件，则a＜-2，
综上a取值范围为（-∞，-2）∪[

1

2

，+∞]．

点评：本题主要考查绝对值函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．考查学生的作图能力．