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    设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上单调递增，在[c，b]上单调递减，则称f（x）为[a，b]上单峰函数，c为峰点．
    （1）已知f（x）=
    1
    4
    （x2-2x）（x2-2x+2t2）为[a，b]上的单峰函数，求t的取值范围及b-a的最大值；
    （2）设fn（x）=2014+px-（x+
    x2
    2
    +
    x3
    3
    +…+
    xn+1
    n+1
    +
    p3xn+4
    n+4
    ），其中n∈N*，p＞2．
    ①证明：对任意n∈N*，fn（x）为[0，1-
    1
    p
    ]上的单峰函数；
    ②记函数fn（x）在[0，1-
    1
    p
    ]上的峰点为cn，n∈N*，证明：cn＜cn+1．
    考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值
    专题：导数的综合应用
    分析：（1）求函数f（x）的导数，根据f（x）为[a，b]上的单峰函数，建立条件关系即可求t的取值范围及b-a的最大值；
    （2）①根据单峰函数的定义进行证明，②根据峰点为cn的性质，建立不等式关系即可证明不等式．
    解答： 解：（1）∵f（x）=
    1
    4
    （x2-2x）（x2-2x+2t2），
    ∴函数的导数f′（x）=（x-1）（x2-2x+t2），
    方程x2-2x+t2=0的判别式△=4（1-t）（1+t），
    当△≥0时，即t≥1或t≤-1时，x2-2x+t2≥0恒成立，此时当x≤1时，f′（x）≤0，此时f（x）单调递减，
    当x≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）单调递增，
    ∴f（x）不是单峰函数，
    当△＜0，即-1＜t＜1，方程x2-2x+t2=0的两根x1=1-
    		1-t2
    ，x2=1+
    		1-t2
    ，则（x1＜1＜x2）
    则f′（x）=（x-x1）（x-1）（x-x2），
    列表如下，
     x （-∞，x1） （x1，1）（1，x2） （x2，+∞） 
     f′（x）-+-+
     f（x） 递减递增 递减 递增 
    ∴f（x）在[x1，x2]上单峰函数，1为峰点，
    b-a=x2-x1=2
    		1-t2
    ≤2    ，当且仅当t=0时取等号，
    综上若f（x）为[a，b]上的单峰函数，t的取值范围（-1，1]，b-a的最大值2；
    （2）①∵fn（x）=2014+px-（x+
    x2
    2
    +
    x3
    3
    +…+
    xn+1
    n+1
    +
    p3xn+4
    n+4
    ），
    ∴fn′（x）=p-（1+x2+…+xn+p3xn+3），
    设gn（x）=fn′（x）=p-（1+x2+…+xn+p3xn+3），
    则gn′（x）=-（1+2x+3x2+…+nxn-1+（n+3）p3xn+2），
    ∵n∈N*，p＞2，∴x∈[0，1-
    1
    p
    ]时，x≥0，gn′（x）≤-1＜0，
    ∴gn（x）=fn′（x）在∈[0，1-
    1
    p
    ]上单调递减，
    又fn′（0）=p-1＞0，fn′（1-
    1
    p
    ）=p-[（1+（1-
    1
    p
    ）2+…+（1-
    1
    p
    ）n+p3（1-
    1
    p
    ）n+3]=p-[
    1-(1-
    1
    p
    )n+1
    1-(1-
    1
    p
    )
    +p3(1-pn+3)    ]=p2（2-p）（1-
    1
    p
    ）n+1＜0，
    ∴函数fn′（x）在∈[0，1-
    1
    p
    ]内存在零点，记为cn．
    ∴x∈（cn，1-
    1
    p
    ）时，fn′（x）＜0，fn（x）在[cn，1-
    1
    p
    ]上单调递减，
    ∴对任意n∈N*，fn（x）为[0，1-
    1
    p
    ]上的单峰函数；
    ②∵fn′（x）=p-（1+x2+…+xn+p3xn+3），
    ∴fn+1′（x）=p-（1+x2+…+xn+1+p3xn+4）=p-1+x（1+x2+…+xn+p3xn+3）=p-1-x[p-fn′（x）]=xfn′（x）-px+p-1，
    故fn+1′（cn）=cnf′（cn）-pcn+p-1，而cn为fn′（x）的峰点，
    ∴fn′（cn）=0，∴fn+1′（cn）=-pcn+p-1，
    又cn∈（0，1-
    1
    p
    ），∴fn+1′（cn）＞fn+1′（cn+1），
    由①知fn+1′（x）在[cn，1-
    1
    p
    ]上单调递减，∴cn＜cn+1
    点评：本题主要考查导数的综合应用，利用单峰函数的定义是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强，难度非常大．
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    		3
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    		2
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    		2-f(x)
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    （3）当p＞1时，证明：
    n
    p
    ＜
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    ＜
    n+1
    p
    （n∈N*）

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    ．

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