Question

已知p≠0，数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=pa_n+1-p（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=2-q^n-1（n∈N^*），当n≥2时，p，q都在区间（0，1）内变化，且满足p^2n-2+q^2n-2≤1时，求所有点（a_n，b_n）所构成图形的面积；
（3）当p＞1时，证明：

n

p

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n+1

p

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）先证明{a_n-1}是以2为首项，p为公比的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定对满足题设的所有点（a_n，b_n）在区域Ω：

1＜x＜2 1＜y＜2 (x-1)2+(y+1)2≤1

内，即可求所有点（a_n，b_n）所构成图形的面积；
（3）利用放缩法进行证明即可．

解答： （1）解：∵a_n+1=pa_n+1-p（n∈N^*）
∴a_n+1-1=p（a_n-1）（n∈N^*）                            …（2分）
∴{a_n-1}是以2为首项，p为公比的等比数列
因此a_n-1=p^n-1，即a_n=1+p^n-1                    …（4分）
（2）解：∵当n≥2时，a_n=1+p^n-1，b_n=2-q^n-1，
由p，q都在区间（0，1）内变化，得1＜a_n＜2，1＜b_n＜2       …（6分）
∵p^2n-2+q^2n-2≤1，
∴（a_n-1）²+（b_n+1）²≤1
即对满足题设的所有点（a_n，b_n）在区域Ω：

1＜x＜2 1＜y＜2 (x-1)2+(y+1)2≤1

内…（8分）
而对区域Ω内的任一点（x，y），
取p=

n-1	x-1

，q=

n-1	2-y

，
则a_n=1+p^n-1，b_n=2-q^n-1，即?p，q∈（0，1），使得?（x，y）∈Ω，（x，y）都是（a_n，b_n）中的点
综上可知，点（a_n，b_n）构成的图形是如图所示的

1

4

圆，其面积为

π

4

  …（10分）
（3）证明：∵

ak

ak+1

=

1+pk-1

1+pk

＞

1

p

∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

p

                                 …（12分）
∵

ak

ak+1

=

1+pk-1

1+pk

＜

1

p

+

p-1

p

•

1

pk

   …（14分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

p

+

p-1

p

（

1

p

+

1

p2

+…

1

pn

）＜

n+1

p

∴

n

p

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n+1

p

                  …（16分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．