Question

f（x）=

x+3

x

 
（1）写出此函数的定义域和值域
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求定义域就是使函数有意义，所以定义域很容易求出，原函数变成f（x）=1+

1

x

，

1

x

≠0，所以f（x）≠1，所以值域也能求出．
（2）可以利用导数证明原函数在（0，+∞）上的单调性．

解答： 解：（1）要使函数f（x）=

x+3

x

=1+

3

x

有意义，则x≠0，∵

3

x

≠0，∴f（x）≠1；
∴函数f（x）的定义域是：{x|x≠0}，值域是：（-∞，1）∪（1，+∞）．
（2）f′（x）=-

3

x2

＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．

点评：本题考查定义域、值域的概念，以及函数导数的符号与函数单调性的关系．利用导数证明或判断函数单调性时，需正确求出导数．