Question

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．现在老张决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且求得ω=

π

72

．
（1）请你帮老张算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）
（2）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票3000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

Answer 1

考点：已知三角函数模型的应用问题,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：应用题,三角函数的图像与性质

分析：（1）C、D关于直线l对称，易求C点坐标为（24，16），将A、B、C的坐标代入解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）可求得tanφ=-

3

3

，进一步可得φ=

5π

6

，a=6，b=19，从而得到ABC段的函数解析式，当x=92时，股价见顶；
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，从而可得老张买入该股票3000股能赚的钱数．

解答： 解：（1）∵C、D关于直线l对称，∴C点坐标为（2×34-44，16）即（24，16）…2分
把A、B、C的坐标代入解析式，得

22=asinφ+b 19=asin( π 6 +φ)+b 16=asin( π 3 +φ)+b

① ② ③

，…3分
②─①得，a[sin(

π

6

+φ)-sinφ]=-3，
③─①得，a[sin(

π

3

+φ)-sinφ]=-6，
∴2sin(

π

6

+φ)-2sinφ=sin(

π

3

+φ)-sinφ，…4分
∴cosφ+

3

sinφ=

3

2

cosφ+

3

2

sinφ，
∴(1-

3

2

)cosφ=(

3

2

-

3

)sinφ=

3

(

3

2

-1)sinφ，
∴tanφ=-

3

3

，…5分
∵0＜φ＜π，∴φ=π-

π

6

=

5π

6

代入②，得b=19
再由①得，a=6∴a=6，b=19，φ=

5π

6

…7分
于是，ABC段的解析式为y=6sin(

π

72

x+

5π

6

)+19，…8分
由对称性得DEF段的解析式为y=6sin[

π

72

(68-x)+

5π

6

]+19，…9分
∴

π

72

(68-xF)+

5π

6

=

π

2

解得x_F=92∴当x=92时，股价见顶…10分
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故这次操作老张能赚3000×（25-16）=27000（元）…13分．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查等价转化思想与综合应用能力，属于难题．