Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件得AA₁⊥底面ABC，BD⊥平面A₁ACC₁，由此能证明平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．
（2）作AM⊥A₁D，设AB₁与A₁B相交于点P，连接MP，则∠APM就是直线A₁B与平面A₁BD所成的角，由此能求出直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：∵正三棱住ABC-A₁B₁C₁，∴AA₁⊥底面ABC，
又∵BD⊥AC，A₁A∩AC=A，∴BD⊥平面A₁ACC₁，
又∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁…6分
（2）解：作AM⊥A₁D，M为垂足，
由（1）知AM⊥平面A₁DB，设AB₁与A₁B相交于点P，
连接MP，则∠APM就是直线A₁B与平面A₁BD所成的角，…9分
∵AA₁=

3

，AD=1，∴在Rt△AA₁D中，
∠A₁DA=

π

3

，∴AM=1×sin60°=

3

2

，AP=

1

2

AB1=

7

2

，
∴sin∠APM=

AM

AP

=

3 2

7 2

=

21

7

．
直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

21

7

．…12分．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线性与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．