Question

已知f（x）=

xlnx(0＜x＜1) lnx x (x≥1)

，则函数的最大值与最小值的和等于

 

．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：导数的概念及应用

分析：根据分段函数意义，分别利用导数求出在其定义域上的最值，问题得以解决．

解答： 解：∵f（x）=xlnx（0＜x＜1）
∴f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=0，解得x=

1

e

，
∴x∈（

1

e

，1），f′（x）＞0，故f（x）=xlnx在（

1

e

，1）上递增，
x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，故f（x）=xlnx在（0，

1

e

）上递减，
故当x=

1

e

时，函数f（x）=xlnx，有最小值，最小值为f（

1

e

）=-

1

e

又f（x）=

lnx

x

，（x≥1）
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
∴x∈（1，e），f′（x）＞0，故f（x）=

lnx

x

在（1，e）上递增，
x∈（e，+∞），f′（x）＜0，故f（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上递减，
故当x=e时，函数f（x）=

lnx

x

，（x≥1），有最大值，最大值为f（e）=

1

e

，
故函数的最大值与最小值的和等于-

1

e

+

1

e

=0．
故答案为：0．

点评：本题考查了导数与函数的最值的问题，属于基础题．