Question

在平面直角坐标系中，过圆x²+y²=1上的动点M作y轴的垂线且交y轴于点N，点Q满足：

OQ

=2

OM

-

ON

．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）设曲线C分别与x，y轴正半轴交于A，B两点，直线y=kx（k＞0）与曲线C交于E，F两点，与线段AB交于点D，

ED

=6

DF

，求k值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x₀，y₀），Q（x，y），则N（0，y₀），由

OQ

=2

OM

-

ON

，能求出点Q的轨迹方程．
（2）由已知A（2，0），B（0，1），得到直线AB：x+2y=2．设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），（x₁＜x₂），
由对称性x₂=-x₁．将y=kx代入方程

x2

4

+y2=1，得x2=-x1=

2

1+4k2

，由

ED

=6

DF

，又点D在AB上，能求出k．

解答： 解：（1）设M（x₀，y₀），Q（x，y），则N（0，y₀），（2分）
由

OQ

=2

OM

-

ON

，得：

x=2x0 y=y0

，即

x0= x 2 y0=y

，（4分）
代入x²+y²=1，有：

x2

4

+y2=1．
∴点Q的轨迹方程C：

x2

4

+y2=1．（6分）
（2）由已知A（2，0），B（0，1），得到直线AB：x+2y=2．（8分）
设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），（x₁＜x₂），
由对称性x₂=-x₁．
将y=kx代入方程

x2

4

+y2=1，得x2=-x1=

2

1+4k2

．（10分）
由

ED

=6

DF

，得：x0=

x1+6x2

7

=

5

7

x2=

10

7 1+4k2

，
又点D在AB上，得：x0=

2

1+2k

．
由

2

1+2k

=

10

7 1+4k2

，解得k=

2

3

或k=

3

8

．（13分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．