Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（a∈R）
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≤2x+1对于x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若g（x）=[f（x）-2a]x在[1，2]的最小值为4，求a的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（x）+f（-x）=0，可证明f（x）=x+

a

x

（a∈R）为奇函数；
（2）根据f（x）≤2x+1对于x∈[1，+∞）恒成立，可得f（x）-（2x+1）≤0对于x∈[1，+∞）恒成立，列出不等式，求出a+

1

4

的取值范围，进而求出实数a的取值范围即可；
（3）首先求出g（x）的解析式，然后根据g（x）=[f（x）-2a]x在[1，2]的最小值为4，分①a＜1时，②1≤a≤2时，③a＞2时三种情况讨论，求出a的值即可．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
可得f（-x）=-x-

a

x

=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）根据f（x）≤2x+1对于x∈[1，+∞）恒成立，
可得f（x）-（2x+1）≤0对于x∈[1，+∞）恒成立，
所以f（x）-（2x+1）=x+

a

x

-（2x+1）=

a

x

-x-1=

-(x+ 1 2 )2+a+ 1 4

x

≤0对于x∈[1，+∞）恒成立，
所以-(x+

1

2

)2+a+

1

4

≤0对于x∈[1，+∞）恒成立，
即a+

1

4

≤(x+

1

2

)2对于x∈[1，+∞）恒成立；
由x∈[1，+∞），可得(x+

1

2

)2≥

9

4

，
所以a+

1

4

≤

9

4

，解得a≤2，
故实数a的取值范围是[2，+∞）；
（3）g（x）=[f（x）-2a]x=（x+

a

x

-2a）x=x²-2ax+a，
g（x）的图象开口向上，对称轴x=a，
g（x）=[f（x）-2a]x在[1，2]的最小值为4，
①a＜1时，x=1时，g（x）_min=g（1）=1-a=4，
解得a=-3；
②1≤a≤2时，x=a时，g(x)min=g(a)=a-a2=4，
此时a无解；
③a＞2时，x=2时，g（x）_min=g（2）=4-3a=4，
解得a=0（舍去）
综上，a=-3．

点评：本题主要考查了函数奇偶性质的运用，考查了函数恒成立问题，以及分类讨论思想的运用，属于中档题．