Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+log 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（I）根据a₃+2是a₂，a₄的等差中项和a₂+a₃+a₄=28，求出a₃、a₂+a₄的值，进而得出首项和a₁，即可求得通项公式；
（II）先求出数列{b_n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8
∴a₂+a₄=20
解得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

∵数列{a_n}单调递增
∴a_n=2ⁿ
（II）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=a_n+log 

1

2

a_n=a_n-n，
∴S_n=

2(1-2n)

1-2

-

n(1+n)

2

=2ⁿ⁺¹-2-

n(1+n)

2

，

点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．