Question

已知向量

m

=（2sinx，cosx），

n

=（

3

cosx，2cosx），定义函数f（x）=

.

m

•

n

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调区间、对称轴与对称中心．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）计算

m

•

n

的值，得出f（x）的解析式，从而求出函数最小正周期；
（2）根据三角函数的图象与性质，求出f（x）的单调增区间、减区间以及对称轴与对称中心． 

解答： 解：（1）∵

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cos²x  
=

3

sin2x+cos2x+1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）=

m

•

n

-1=2sin（2x+

π

6

），
∴函数的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

 （k∈Z），
则2kπ-

2π

3

＜2x＜2kπ+

π

3

 （k∈Z），
∴kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

 （k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间是（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

）（k∈Z），
同理可得：f（x）的单调递减区间是（kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

）（k∈Z），
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ （k∈Z），
得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z），
由2x+

π

6

=kπ （k∈Z），
得x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为 （

kπ

2

-

π

12

，0）（k∈Z）．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题目．