Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为

3

．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆Γ上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M，若圆M与y轴相切，求点M的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知a=2c，bc=

3

，由此能示出椭圆Γ的标准方程．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），右焦点F（1，0），则圆M的半径r=

(x0-1)2+y02

，由圆心M到y轴距离d=|x₀|，圆M与y轴相切，结合已知条件能求出点M的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知a=2c，bc=

3

…（2分）
解得：a=2，b=

3

，c=1…（4分）
所以椭圆Γ的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），右焦点F（1，0），
则圆M的半径r=

(x0-1)2+y02

，
圆心M到y轴距离d=|x₀|，圆M与y轴相切，
则有r=d，即

(x0-1)2+y02

=|x0|，…（8分）
化简得：y02-2x0+1=0，又M为椭圆上的点，
∴y02=3-

3

4

x02，…（9分）
两式联立消去y₀，得3x02+8x0-16=0，
解得x₀=-4或x0=

4

3

，…（10分）
又-2≤x₀≤2，所以x0=

4

3

，y0=±

15

3

，
即点M坐标是(

4

3

，±

15

3

)．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．