Question

已知函数f（x）=（1+x）lnx．
（Ⅰ）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）设g（x）=

f(x)

a(1-x)

（a≠0），若对一切的x∈（0，1），不等式g（x）＜-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′(x)=lnx+

1+x

x

，再求出f″（x）=

1

x

-

1

x2

＞0⇒x＞1，从而得出f（x）在（0，+∞）的单调递增；
（Ⅱ）由题意得：当a＜0时，不等式g（x）＜-2不成立当a＞0时，不等式g(x)＜-2?lnx＜

2a(x-1)

x+1

设F（x）=lnx-

2a(x-1)

x+1

，讨论①当0＜a≤1时，△≤0，②当a＞1时，△＞0，从而求出a的范围．

解答： 解：定义域为（0，+∞）
（Ⅰ）f′(x)=lnx+

1+x

x

，
f″（x）=

1

x

-

1

x2

＞0⇒x＞1，
∴f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2＞0，
∴f（x）在（0，+∞）的单调递增
（Ⅱ）g(x)=

f(x)

a(1-x)

=

1+x

a(1-x)

lnx，定义域为（0，1）
当x∈（0，1）时，∵

1+x

1-x

lnx＜0，
∴当a＜0时，不等式g（x）＜-2不成立
当a＞0时，不等式g(x)＜-2?lnx＜

2a(x-1)

x+1

设F（x）=lnx-

2a(x-1)

x+1

，
则F′(x)=

1

x

-

4a

(x+1)2

=

x2+2(1-2a)x+1

x(x+1)2

令F′（x）=0⇒h（x）=x²+2（1-2a）x+1=0⇒△=4（1-2a）²-4=16a（a-1）
①当0＜a≤1时，△≤0，
∴F′（x）≥0，∴F（x）在（0，1）的单调递增，
F（x）＜F（1）=0恒成立，
∴0＜a≤1．
②当a＞1时，△＞0，h（0）=1＞0，h（1）=4（1-a）＜0
∴?x₀∈（0，1）使h（x₀）=0，
∴?x0∈(x0，1)，   h(x)＜0⇒F′(x)＜0，
∴F（x）在（x₀，1）的单调递减，
∴F（x）＞F（1）=0与题设矛盾．
综上：实数a的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．