Question

已知函数f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，g（x）=

1

sinθ•x

+lnx在[1，+∞]上为增函数，且θ∈（0，π），求解下列各题：
（1）求θ的取值范围；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上为单调增函数，求m的取值范围；
（3）设φ（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，f（x₀）-g（x₀）＞φ（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，得sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只需sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，由sinθ≤1有sinθ=1，得θ=

π

2

；
（2）由h′（x）=

mx2-2x+m

x2

，得mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x• 1 x

=1，得mx²-2x+m≥0在[1，+∞）恒成立时有m≥1，即函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数时，m的范围是[1，+∞）；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）-φ（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，讨论①m≤0时，②m＞0时的情况，从而得出结论．

解答： 解：（1）∵g（x）=

1

sinθ•x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，
又∵θ∈（0，π），即sinθ＞0，
∴sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
只需sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，由sinθ≤1有sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

，
（2）h（x）=f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴h′（x）=

mx2-2x+m

x2

，
∵h（x）在[1，+∞）递增，
∴mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x• 1 x

=1，
∴mx²-2x+m≥0在[1，+∞）恒成立时有m≥1，
即函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数时，m的范围是[1，+∞）；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）-φ（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，
①m≤0时，∵x∈[1，e]，
∴mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴F（x）＜0，
故在[1，e]上不存在一个x₀，使f（x₀）-g（x₀）＞φ（x₀）成立，
②m＞0时，F′（x）=

mx2-2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立，
故F（x）在[1，e]上递增，F（x）_max=me-

m

e

-4，
∴只需满足me-

m

e

-4＞0，
解得：m＞

4e

e2-1

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．