Question

如图，角α（α∈（

π

6

，

π

2

））的终边交单位圆于点A，将角α的终边按逆时针方向旋转

π

4

，交单位圆于点B．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若x₁=

3

5

，求x₂的值；
（Ⅱ）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记△AOC、△BOD的面积分别为S₁、S₂，若S₁₌

3

S₂，求角α的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先根据三角函数的定义分别表示出x₁，y₁和x₂，y₂，进而根据x₁的值求得sinα和cosα的值，最后利用两角和公式求得x₂的值；
（Ⅱ）用三角形面积公式分别表示出△AOC、△BOD的面积根据已知关系，求得α的值．

解答： 解：如图，由三角函数的定义知：

x1=cosα，y1=sinα，x2=cos(α+

π

4

)，y2=sin(α+

π

4

)．
（Ⅰ）∵x1=cosα=

3

5

，
∴sinα=

4

5

，
∴x2=cos(α+

π

4

)=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

．
（Ⅱ）S1=

1

2

|OC|•|AC|=

1

2

|cosα•sinα|=

1

4

|sin2α|，S2=

1

2

|OD|•|BD|=

1

2

|cos(α+

π

4

)sin(α+

π

4

)=

1

4

|cos2α|，
∵S1=

3

S2，
∴|sin2α|=

3

|cos2α|⇒|tan2α|=

3

，
∵

π

6

＜α＜

π

2

，
∴

π

3

＜2α＜π，
∴2α=

2π

3

⇒α=

π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数的定义和正弦定理的应用．注重了对学生基础知识的考查．