Question

如图所示，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，∠ABC=45°，AB=SA=SB=2．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求点B到平面SAD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD，连接AO．由条件SA=SB，可以说明OA=OB，因为∠ABC=45°，所以OB⊥OA，从而证明BO⊥平面SAO，所以BO⊥平面SAO，所以SA⊥BC．
（2）要求B到平面SAD的距离，需要过B作平面SAD的垂线，垂足为E，这样直接作不好作，所以想着建立空间直角坐标系，用向量解决．可以分别以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，通过BE⊥平面SAD，E在平面SAD上，会得到向量的一些关系，从而求出E点的坐标，再根据两点间的距离公式求出BE．

解答： （1）证明：作SO⊥BC，垂足是O，连接AO，SO，
∵侧面SBC⊥底面ABCD，侧面SBC∩底面ABCD=BC
∴SO⊥底面ABCD；
又∵OA?底面ABCD，OB?底面ABCD
∴SO⊥OA，SO⊥OB；
又 SA=SB
∴OA=OB；
又∠ABC=45°
∴OA⊥OB；
∵BC⊥SO，BC⊥AO，SO∩AO=O
∴BC⊥平面SOA；
又∵SA?平面SOA
∴SA⊥BC．
（2）分别以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
在Rt△AOB中，∠，∠ABO=45°，AB=2；
∴OA=OB=

2

；
在Rt△BOS中，∠SOB=90°，OB=

2

，SB=2；
∴OS=

2

．
设D（

2

，a，0），过B作平面SAD的垂线，垂足为E（x₀，y₀，z₀），并且能确定以下几个点的坐标：
A（

2

，0，0），S（0，0，

2

），B（0，

2

，0）；
∴

AE

=(x0-

2

，y0，z0)，

AD

=(0，a，0)，

AS

=(-

2

，0，

2

)，

BE

=(x0，y0-

2

，z0)；
∵

AE

，

AD

，

AS

都在平面SAD上，∴存在实数λ，μ使：

AE

=λ

AD

+μ

AS

；
∴带入坐标可得：

x0- 2 =- 2 μ y0=aλ z0= 2 μ

                 （1）
∵

BE

⊥平面SAD，∴

BE

⊥

AS

，

BE

⊥

AD

；
∴

a(y0- 2 )=0 - 2 x0+ 2 z0=0

                            （2）
由（1）（2）解得：x0=

2

2

，y0=

2

，z0=

2

2

；
∴BE=1．
∴点B到平面SAD的距离为：1．

点评：本题考查的知识点是：面面垂直的性质定理，线面垂直判定定理，线线垂直的判定方法，线面垂直的性质，空间直角坐标系，共面向量基本定理，相互垂直的向量的数量积为0，要掌握这种用向量的办法求点到平面的距离的求法．