Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，

m

=（2cos

C

2

，-sinC），

n

=（cos

C

2

，2sinC）且

m

⊥

n

．
（1）求∠C；
（2）若a²=b²+

1

2

c²，试求sin（A-B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标及两向量垂直时满足的条件列出关系式，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）已知等式利用正弦定理化简，将sinC的值代入得到cos2B-cos2A=

3

4

，变形后即可确定出sin（A-B）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（2cos

C

2

，-sinC），

n

=（cos

C

2

，2sinC）且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即2cos²

C

2

-2sin²C=0，
整理得：2cos²C+cosC-1=0，即（2cosC-1）（cosC+1）=0，
解得：cosC=

1

2

或cosC=-1（舍去），
则∠C=60°；
（2）已知等式a²=b²+

1

2

c²，利用正弦定理化简得：sin²A=sin²B+

1

2

sin²C=sin²B+

3

8

，
整理得：

1-cos2A

2

=

1-cos2B

2

+

3

8

，即cos2B-cos2A=

3

4

，
即cos2B-cos2A=cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]
=cos（A+B）cos（A-B）+sin（A+B）sin（A-B）-[cos（A+B）cos（A-B）-sin（A+B）sin（A-B）]
=2sin（A+B）sin（A-B）=2sinCsin（A-B）=

3

sin（A-B）=

3

4

，
则sin（A-B）=

3

4

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．