Question

在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，且（3a-c）•cosB=b•cosC．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若b=2

2

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值即可；
（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由（3a-c）cosB=bcosC及正弦定理得：（3sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
∵B+C=π-A，
∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴3sinAcosB=sinA，
又sinA≠0，
∴cosB=

1

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵b=2

2

，cosB=

1

3

，
∴由余弦定理及基本不等式得：8=a²+c²-2accosB=a²+c²-

2

3

ac≥2ac-

2

3

ac=

4

3

ac，即ac≤6（当且仅当a=c=

6

时取到等号），
∴△ABC的面积为S=

1

2

acsinB≤

1

2

×6×

2 2

3

=2

2

，
则△ABC的面积的最大值为2

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．