Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+4
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）有零点，求b的取值范围；
（3）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值g（b）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），列出等式，求出b的值即可；
（2）根据f（x）有零点，可得△≥0，据此求出b的取值范围即可；
（3）首先求出f（x）的对称轴x=-

b

2

，然后分①-

b

2

≥0，②-

b

2

＜0两种情况讨论，求出f（x）在区间[-1，1]上的最大值g（b）即可．

解答： 解（1）因为f（x）为偶函数，
所以x²+bx+4=x²-bx+4，
解得b=0；
（2）因为f（x）有零点，
所以△=b²-16≥0，
解得b≥4或b≤-4；
（3）因为f（x）的对称轴为x=-

b

2

，
①-

b

2

≥0，即b≤0时，
g（b）=f（-1）=5-b；
②-

b

2

＜0，即b＞0时，
g（b）=f（1）=5+b．
综上所述：g(b)=

5-b，b≤0 5+b，b＞0

．

点评：本题主要考查了二次函数奇偶性质的运用，以及二次函数的零点、某个区间上的最值的求法，属于基础题．