Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=2sin（π-x）cosx=sin2x，得出f（x）在[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]递增，（k∈Z），
（Ⅱ）由-

π

6

≤x≤

π

2

⇒-

π

3

≤2x≤π，从而-

3

2

≤sinx≤1，进而求出f（x）在[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π-x）cosx=sin2x，
∴f′（x）=2cos2x，
令f′（x）≥0，解得：kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，
∴f（x）在[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]递增，（k∈Z），
（Ⅱ）由-

π

6

≤x≤

π

2

⇒-

π

3

≤2x≤π，
∴-

3

2

≤sinx≤1，
∴f（x）在[-

π

6

，

π

2

]上的最大值为1，最小值为-

3

2

．

点评：本题考查了三角函数的性质，函数的最值问题，考查函数的单调性，是一道基础题．