Question

已知等差数列{a_n}前n项和为S_n，且a₃=3，S₁₅=120．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设b_n=n•2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a₁=0，d=1，由此能求出a_n=n-1．
（2）b_n=3 an+2n=3^n-1+2n，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
由题意得

a1+2d=3 15a1+ 15×14 2 d=120

，
解得a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（2）b_n=n•2^a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得，-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：该题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的熟练运用．