Question

已知圆M和圆P：x²+y²-2

2

x-10=0相内切，且过定点Q（-

2

，0）．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；
（Ⅱ）不垂直于坐标的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，-

1

2

），求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知得M的轨迹是以（-

2

，0），（

2

，0）为焦点，2

3

为长轴长的椭圆，由此能求出动圆圆心M的轨迹方程．
（II）设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，由此利用韦达定理、椭圆弦长公式、点到直线的距离公式结合已知条件能求出△AOB（O为原点）面积的最大值．

解答： 解：（I）由已知|MP|=2

3

-|MQ|，即|MP|+|MQ|=2

3

，…（2分）
且2

3

大于|PQ|，…（3分）
所以M的轨迹是以（-

2

，0），（

2

，0）为焦点，2

3

为长轴长的椭圆，
即其方程为

x2

3

+y2=1．…（5分）
（II）设AB的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²，①方程有两个不同的解，…（6分）
x1+x2=

-6kt

3k2+1

，

x1+x2

2

=

-3kt

3k2+1

，

y1+y2

2

=

t

3k2+1

，…（7分）

y1+y2 2 + 1 2

0- x1+x2 2

=-

1

k

，
化简得到3k²+1=4t，②…（8分）
得到0＜t＜4，
又原点到直线的距离为d=

|t|

k2+1

，…（9分）
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

4(9k2+3-3k2)

3k2+1

，…（10分）
S_△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

•

|t|

k2+1

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
化简得到S_△AOB=

1

4

3(4t-t2)

，
所以当t=2时，即k=±

7 3

…（11分）
S_△AOB取得最大值

3

2

．…（12分）

点评：本题动圆圆心的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．