Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为

3

．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：x=my+q（m≠0）与椭圆Γ交于不同的两点A、B，设点A关于椭圆长轴的对称点为A₁，试求A₁、F、B三点共线的充要条件．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知a=2c，bc=

3

，由此能求出椭圆Γ的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）联立

x=my+q x2 4 + y2 3 =1

⇒(3m2+4)y2+6mqy+(3q2-12)=0，由此根的判别式、韦达定理结合已知条件推导出A₁，F，B三点共线的充要条件是|m|＞2且q=4．

解答： 解：（1）由题意知a=2c，bc=

3

，…（2分）
∴a=2，b=

3

，
椭圆Γ的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）联立

x=my+q x2 4 + y2 3 =1

⇒(3m2+4)y2+6mqy+(3q2-12)=0…（5分）
由△=12[3m²q²-（3m²+4）（q²-4）]=48（3m²+4-q²）＞0
得3m²+4-q²＞0①…（7分）
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

-6mq

3m2+4

，y1y2=

3q2-12

3m2+4

∵F（1，0），∴

FA1

=(x1-1，-y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
因A₁，F，B三点共线，
∴（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=0…（10分）
∴（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=（my₁+q-1）y₂+（my₂+q-1）y₁
=2my₁y₂+（q-1）（y₁+y₂）
=2m•

3q2-12

3m2+4

+(q-1)•

-6mq

3m2+4

=2m•

3q-12

3m2+4

，②
解得q=4，m≠0．…（12分）
由①②知A₁，F，B三点共线的充要条件是|m|＞2且q=4．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三点共线的充要条件的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．