Question

设

a

=（1+cosα，sinα），

b

=（1-cosβ，sinβ），

c

=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，若θ₁-θ₂=

π

4

，求sin

α-β

2

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：由α∈（0，π），可得

α

2

∈(0，

π

2

)．利用向量的夹角公式可得cosθ₁=

a • c

| a || c |

=cos

α

2

，可得θ1=

α

2

．同理可得θ2=

β

2

-

π

2

．再利用θ₁-θ₂=

π

4

，即可得出sin

α-β

2

的值．

解答： 解：α∈（0，π），∴

α

2

∈(0，

π

2

)．
∵

a

•

c

=1+cosα，|

a

|=

(1+cosα)2+sin2α

=

2+2cosα

，|

c

|=1，∴cosθ₁=

a • c

| a || c |

=

1+cosα

2+2cosα

=

1+cosα 2

=

cos2 α 2

=cos

α

2

，∴θ1=

α

2

．
∵β∈（π，2π），∴

β

2

∈(

π

2

，π)，∴(

β-π

2

)∈(0，

π

2

)．
∵

b

•

c

=1-cosβ，|

b

|=

(1-cosβ)2+sin2β

=

2-2cosβ

，∴cosθ₂=

b • c

| b || c |

=

1-cosβ

2-2cosβ

=

1-cosβ 2

=sin

β

2

=cos(

β

2

-

π

2

)，∴θ2=

β

2

-

π

2

．
∵θ₁-θ₂=

π

4

，∴

α

2

-(

β

2

-

π

2

)=

π

4

，化为

α-β

2

=-

π

4

sin

α-β

2

=sin(-

π

4

)=-

2

2

．

点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．