Question

在平面直角坐标系xOy中，B（0，-3），C（0，3），△ABC的边满足AB+CA=2BC．则点A的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，点A到B、C两点的距离之和等于2|BC|=12，根据椭圆的定义可得A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（长轴端点除外）．再由a=6且c=3算出b²=a²-c²=27，从而得出此椭圆的方程，进而得到所求轨迹方程．

解答： 解：∵B（0，-3），C（0，3），
∴AB+CA=2BC=12＞BC，
根据椭圆的定义，可得顶点A的轨迹是以B、C为焦点，长轴长等于12的椭圆（长轴端点除外）．
∵2a=12，2c=6，
∴a=6，c=3，可得b²=a²-c²=27．
因此，顶点A的轨迹方程为

y2

36

+

x2

27

=1（x≠0）．
故答案为：

y2

36

+

x2

27

=1（x≠0）．

点评：本题考查了椭圆的定义、等差数列及其性质、动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．