Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

（n∈N^*），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，利用累加法和裂项法即可得到结论．

解答： 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（n∈N^*），
则a₂-a₁=1-

1

2

，
a₃-a₂=

1

2

-

1

3

，
…
a_n-a_n-1=

1

n-1

-

1

n

，
等式两边同时相加得
a_n-a₁=1-

1

n

，
故a_n=2-

1

n

，
故答案为：2-

1

n

点评：本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系，以及利用累加法和裂项法是解决本题的关键．