Question

设直线：l：y=kx+m（m≠0），双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），则“k=-

b

a

”是“直线l与双曲线C恰有一个公共点“的

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：“k=-

b

a

”⇒“直线l与双曲线C恰有一个公共点”，反之不成立，即可判断出．

解答： 解：由双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得双曲线的一条渐进线y=-

b

a

x，
直线：l：y=kx+m（m≠0），∴渐进线与此直线平行，因此直线l与双曲线C恰有一个公共点．
反之不成立，∵k=

b

a

也满足直线l与双曲线C恰有一个公共点．
故“k=-

b

a

”是“直线l与双曲线C恰有一个公共点”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要条件．

点评：本题考查了直线与双曲线的交点情况、充分必要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．