Question

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值；
（2）求平面ACC₁与平面BFC₁所成的锐二面角．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF和BE所成的角的余弦值．
（2）求出平面ACC₁的一个法向量和平面BFC₁的法向量利用向量法能求出平面ACC₁与平面BFC₁所成的锐二面角．

解答： 解：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（

1

2

，0，1），B（1，1，0），F（1，

1

2

，1）．

AE

=（0，

1

2

，1），

BE

=(-

1

2

，-1，1)，
∴cos＜

AF

，

BE

＞=

1 2

5 4 • 9 4

=

2 5

15

．
∴异面直线AF和BE所成的角的余弦值为

2 5

15

．
（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥DB，
∵正方体AC₁中，CC₁⊥底面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁，∴平面平面ACC₁的一个法向量为

DB

=(1，1，0)，
设平面BFC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，

BC1

=（-1，0，1），
则

n • BF =- 1 2 y+z=0 n • BC1 =-x+z=0

，∴取z=1，得

n

=(1，2，1)，
cos＜

DB

，

n

＞=

1+2

2 • 6

=

3

2

，∵＜

DB

，

n

＞为锐角，
∴所求的锐二面角为

π

6

．

点评：本题考查异面直线所成的角的余弦值的求法，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．