Question

如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且

AM

=λ

MB

（λ＞0）．
（1）求点M的轨迹E的方程，并指明轨迹E是何种曲线；
（2）当λ=

2

3

时，过点P（1，1）的直线与轨迹E交于C、D两点，且P为弦CD的中点，求直线CD的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x，y），A（a，0），B（0，b），由

AM

=λ

MB

，得（x-a，y）=λ（-x，b-y），由a²+b²=25，得

x2

25 (1+λ)2

+

y2

25λ2 (1+λ)2

=1．若λ=1，则方程为x2+y2=

25

4

，轨迹为圆；若0＜λ＜1，则轨迹E表示为焦点在x轴上的椭圆；若λ＞1，则轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）当λ=

2

3

时，轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1，利用点差法能求出直线CD的方程．

解答： 解：（1）设M（x，y），A（a，0），B（0，b），
由

AM

=λ

MB

，得（x-a，y）=λ（-x，b-y），

x-a=-λx y=λ(b-y)

，从而

a=(1+λ)x b= (1+λ) λ y

，
由a²+b²=25，得

x2

25 (1+λ)2

+

y2

25λ2 (1+λ)2

=1．
①若λ=1，则方程为x2+y2=

25

4

，轨迹为圆；
②若0＜λ＜1，则轨迹E表示为焦点在x轴上的椭圆；
③若λ＞1，则轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）当λ=

2

3

时，轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
设弦CD的斜率为k，代入作差，得：

x12-x22

9

-

y12-y22

4

=0，
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，得k=-

4

9

，
∴直线CD的方程为y-1=-

4

9

（x-1），整理，得4x+9y-13=0．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．