Question

已知函数f（x）=

ex+x-a

-x在[0，1]上有零点．
（1）求实数a的取值范围
（2）对（1）中a的最大值记为t，定义g（x）=（t）^x，（x∈R），g′（x）为g（x）的导函数，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是g（x）图象上的两点，且g′（x₀）=

y2-y1

x2-x1

，试判定x₀，x₁，x₂大小，并证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得：a=e^x-x²+x，x∈[0，1]，设g（x）=e^x-x²+x，从而求出g（x）＞g（1）=e-1＞0，进而求出则a的范围是[1，e]．
（2）由（1）知：t=e，由g（x）的图象猜想：x₁＜x₀＜x₂，只需证

ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0① ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0②

，从而解决问题．

解答： 解：（1）∵f（x）在[0，1]上有零点，即

ex+x-a

=x有根，
∴a=e^x-x²+x，x∈[0，1]，
设g（x）=e^x-x²+x，
∴g′（x）=e^x-2x+1，
∴g″（x）=e^x-2＜0，
令g″（x）＞0，解得：x＞ln2，
令g″（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
∴g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，1]递增，
∴g′（x）＞g（1n2）＞0，
即g′（x）在[0，1]递增，
∴g（x）∈[1，e]，
则a的范围是[1，e]．
（2）由（1）知：t=e，
∴g（x）=e^x，
由g（x）的图象猜想：x₁＜x₀＜x₂，
∵g′（x₀）=ex0=

ex2-ex1

x2-x1

，
要证x₁＜x₀＜x₂，
只需证ex1＜

ex2-xx1

x2-x1

＜ex2，
只需证

ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0① ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0②

，
设①中m（x）=e^x+e^x（x₂-x）-ex2，
∵m′（x）=-e^x（x-x₂）≥0，
∴m（x）在（-∞，x₂]上递增，
又∵x₁＜x₂，∴m（x₁ ）＜m（x₂ ），
即ex1+ex1（x₂-x₁）-ex2＜0，
同理可证②也成立，
故x₁＜x₀＜x₂．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．