Question

将函数y=（sinx+cosx）²在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=2ⁿa_n，其中n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,三角函数的最值

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（I）y=（sinx+cosx）²=1+sin2x，y′=cos2x，令y′=0可求得极值点，从而得到通项公式；
（Ⅱ）表示出b_n，利用错位相减法即可求得T_n．

解答： 解：（I）y=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
y′=cos2x，令y′=0，得其极值点为x=

kπ

2

+

π

4

（k∈Z），
它在区间（0，+∞）内的全部极值点构成以

π

4

为首项，

π

2

为公差的等差数列，
∴an=

π

4

+（n-1）•

π

2

=（2n-1）•

π

4

；                                  
（II）∵b_n=2ⁿa_n=

π

4

（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=

π

4

[1•2+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ]，
2T_n=

π

4

[1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
两式相减，得
-T_n=

π

4

[1•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
∴T_n=

π

2

[（2n-3）•2ⁿ+3]，
综上，数列{b_n}的前n项和T_n=

π

2

[（2n-3）•2ⁿ+3]．

点评：该题考查数列的函数特性、数列求和、三角函数式的化简等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．